Programmazione lineare

Programmazione lineare 

Un problema di scelta si dice di programmazione lineare quando sia la funzione obiettivo che il sistema dei vincoli (espresso da disequazioni e talvolta equazioni) sono lineari (rette).

Per risolvere il problema:

- bisogna individuare la regione ammissibile, delimitata dal sistema dei vincoli, e le curve di livello della funzione ;

- se la regione ammissibile è un poligono, si ricercano i vertici ed i punti di minimo o di massimo che si trovano in corrispondenza di uno dei vertici o con uno dei punti del poligono; coincide con uno dei lati se le linee di livello della funzione sono parallele ad uno dei lati del poligono;

- i punti di massimo o minimo possono non esistere se il poligono che deriva dalla rappresentazione del sistema dei vincoli non è chiuso, ma è una regione aperta.

Il modello matematico di questi problemi è costituito da una funzione obiettivo da ottimizzare del tipo z = c1x1 + c2x2+ .. + cnxn e da un insieme di vincoli (disequazioni ed equazioni) tutte di tipo lineare.

Metodo grafico per la risoluzione di problemi di programmazione lineare

I problemi di programmazione lineare possono essere risolti attraverso il metodo grafico quando le variabili d’azione sono 2 o riconducibili a 2 .

P.S. Un problema in più di due variabili d’azione (in generale n , dove n >2 ) , è riconducibile a due, se nel sistema dei vincoli ci saranno oltre alle disequazioni un numero di equazioni pari a n-2 . Sarà sufficiente esplicitare n-2 variabili d’azione e sostituirle nelle disequazioni .

Nel problema individueremo poi delle vincoli di segno (o di non negatività) e dei vincoli tecnici . Vincoli di segno in base ai quali il valore delle variabili non può essere negativo quindi maggiore o uguale a zero (si risolvono nel I° quadrante) e vincoli tecnici che indicano la quantità di risorse disponibili .

Problemi di scelta in condizioni di incertezza

Problemi di scelta in condizioni di incertezza

I problema di scelta in condizioni incertezza, sono quelli in cui la funzione obiettivo dipende dal verificarsi di eventi aleatorie, incerti e possono essere con effetti immediati o con effetti differiti ( nel caso di investimenti ).

Per risolvere un problema in ambiente incerto con effetti immediati, bisogna distinguere tre situazioni:

n  CASO I°: caso in cui vi è un’ alternativa dominante , cioè un’ alternativa che ottimizza la funzione obiettivo in qualsiasi situazione, al verificarsi di qualsiasi evento . Evidentemente in tal caso la scelta è obbligata. Se ciò non accade ipotizziamo che :

n  CASO II°: non si conosca la probabilità del verificarsi dei vari eventi. In questo caso si potrà sempre effettuare un’ indagine statistica per valutare le probabilità ma questo comporterà un certo costo;

n  CASO III°: si conosca la probabilità del verificarsi dei vari eventi;

CASO II°: non si conosce la probabilità  e  nessuna alternativa è dominante.

Nel caso in cui non si conosca la probabilità e nessuna alternativa sia dominante è possibile adottare uno dei due seguenti criteri :

n  I° :CRITERIO DEL PESSIMISTA , del massimo profitto o del minimo costo nel caso peggiore;

n  II°: CRITERIO DELL’ OTTIMISTA , del massimo profitto o del minimo costo nel caso migliore

I°: criterio  DEL PESSIMISTA
Se di PROFITTO:   del massimo profitto nel caso peggiore ( MIN. profitto )
Se di COSTI:   del minimo costo nel caso peggiore ( MAX costo )

Con il criterio del pessimista si ipotizza che gli eventi saranno contrari e che i profitti saranno minimi mentre i costi saranno massimi. In tal caso si sceglierà l’alternativa per cui risulteranno massimi i profitti ipotizzati minimi ( MAXiMIN ) e minimi i costi ipotizzati massimi ( MINiMAX ).

II° : criterio DELL’ OTTIMISTA
Se di PROFITTO:   del massimo profitto nel caso migliore ( MAX. profitto )
Se di COSTI:   del minimo costo nel caso migliore ( MIN costo )

Con il criterio dell’ottimista si ipotizza che gli eventi saranno favorevoli e che i profitti saranno massimi e che i costi saranno minimi. Quindi si sceglierà l’alternativa per cui risulteranno massimi i profitti ipotizzati massimi ( MAXiMAX ) e  minimi  i costi ipotizzati minimi ( MINiMIN ).

CASO III°: Ipotizziamo che si conosca la probabilità degli eventi e che nessuna Alternativa sia dominante

1)   nessuna alternativa sia dominante;

2)   si conosca il valore delle probabilità dei singoli eventi.

Supponendo che, attraverso indagini di mercato, si sia riusciti a determinare i valori delle probabilità dei singoli eventi (questa indagine avrà avuto un certo costo e non sempre è possibile avere tali informazioni), notiamo che gli eventi saranno sempre incompatibili e complementari perché se ne potrà presentare solo uno ed uno si presenterà sicuramente.

Vi sono due metodi che permettono di determinare l’ottimo della funzione obiettivo e tengono conto:

I°  metodo:  DEL VALORE ATTESO o Speranza matematica

II° metodo:  DELLA VARIANZA

METODO DEL VALORE ATTESO O SPERANZA MATEMATICA

Si dice valore atteso collegato ad un gioco di sorte il prodotto tra la probabilità che l’evento si realizzi e la somma che deriverà dalla vincita.

Il criterio del valore atteso aiuta ad effettuare delle scelte razionali ma non tiene conto del grado di rischio che è insito in ogni scelta , infatti può  verificarsi che più alternative presentino lo stesso valore atteso pur presentando caratteristiche molto differenti.  Quindi, il Valore Atteso ( Speranza Matematica totale ) non può bastare per effettuare una scelta esatta.

METODO DELLA VARIANZA     

La varianza esprime il grado di rischio che le varie alternative comportano, quindi si sceglierà l’alternativa che presenta la varianza minore e che quindi sarà caratterizzata da un rischio minore.

La varianza è data da: p²( A_j ) = ∑_i ( G_ij - M (A_j) )²x

Dove:

-      Gij = guadagno ;

-      M (A_j) = valore atteso;

-      x = valore della probabilità;.